Главный закон роста численности
изолированной популяции

В основе любых моделей лежат некоторые предположения. Ценность модели определяется тем, насколько ее характеристики соответствуют свойствам моделируемого объекта. Одним из фундаментальных предположений, лежащим в основе всех моделей роста, является предположение о пропорциональности скорости роста численности популяции - самой этой численности, будь то популяция зайцев или популяция клеток. В основе этого предположения лежит тот общеизвестный факт, что важнейшей характеристикой живых систем является их способность к размножению.

Для многих одноклеточных организмов или клеток, входящих в состав клеточных тканей - это просто деление, то есть удвоение числа клеток через определенный интервал времени, называемый характерным временем деления. Для сложно организованных растений и животных размножение происходит по более сложному закону, но в наиболее простых и адекватных моделях предполагается, что скорость размножения популяции пропорциональна численности этой популяции.

Закон экспоненциального роста справедлив на определенной стадии роста для следующих живых систем: клеток в ткани, водорослей, бактерий в культуре, животных в популяциях. Математическое выражение, описывающее увеличение скорости изменения величины с ростом самой этой величины, называют автокаталитическим членом (авто - само, катализ - изменение скорости реакции).

Во многих популярных руководствах по экологии говорится, что экспоненциальный рост популяций возможен только в особо оптимальных условиях при отсутствии каких-либо ограничивающих факторов. Это не совсем верно, поскольку единственное необходимое и достаточное условие такого роста - это постоянство коэффициента естественного прироста, определяющего для размножающихся организмов скорость их размножения. Так, например, проводя серию наблюдений за ростом популяции каких-либо одноклеточных организмов в разных температурных условиях, нетрудно заметить, что с уменьшением температуры скорость деления клеток падает, но экспоненциальный характер роста сохраняется.

Иногда желая принизить значение экспоненциального роста популяции, авторы акцентируют внимание на его непродолжительности, на то, что он почти никогда не встречается в природе и, следовательно, может рассматриваться, по их мнению, лишь как демонстрация потенциальных возможностей популяции к росту. При этом они забывают о том, что никакая популяция так бы никогда и не появилась в природе, если бы не существовал этот важный, пусть и кратковременный, этап ее развития. Но бывают случаи, когда этот этап все длится и длится и никак не может закончиться.

Распространенное представление о том, что рост популяций в благоприятных условиях ограничивается только объемом пищевых ресурсов и конкуренцией - представляется ошибочным. Существует множество примеров, свидетельствующих о том, что все популяции: животные, растительные, бактериальные - обладают эффективными средствами, ограничивающими рост своей численности и активизирующимися задолго до того как заканчиваются пищевые ресурсы, или вступают в силу ограничения по причине конкуренции. Есть лишь редкие исключения из этого правила.

Кажутся ли удивительными в таком случае парадоксальный гиперболический рост численности человеческой популяции и следующий за ним демографический переход, ограничивающий ее численность на некотором фиксированном уровне. Рост, который никогда не зависел ни от каких ресурсов и переход, который происходит в условиях всеобщего изобилия, когда нет (в первом приближении) никаких ограничений ни в пищевых, ни в пространственных, ни в энергетических, ни в каких-либо других ресурсах. Разве удивительно, что растущее человечество как система, с помощью разнообразных появляющихся и исчезающих связей, управляет своим ростом и ведет себя подобно всем другим видам и подобно Гее Лавлока, как единый живой организм?

То, что плотность популяции влияет на ее дальнейший рост можно проверить в опытах с любыми видами организмов. Например, при содержании белых мышей в вольерах, когда люди следят за чистотой клеток и обеспечивают всех кормом, мыши, достигнув определенной численности, перестают размножаться. Если перевести их в более просторную клетку, тем самым снизив плотность популяции, они продолжат размножение вновь до определенного предела. При этом меняются характер поведения мышей и отношения их между собой. Зверьки становятся беспокойными и агрессивными, и это отрицательно влияет на процесс размножения.

Когда взаимодействие между особями изолированной популяции отсутствует, ее рост происходит по экспоненциальному закону. Этот закон был описан в книге Роберта Мальтуса «Опыт о законе народонаселения». В ней было впервые сформулировано положение о том, что численность популяции в благоприятных условиях растет по закону геометрической прогрессии. Сам русский термин «популяция» происходит от английского «population», население. Мальтус был первым, кто применил математику в экологии, если не считать итальянского математика Фибоначчи.

В своей работе Мальтус четко сформулировал необходимые идеализации, без которых была бы невозможна математическая постановка задачи: однородность и изолированность популяции, неограниченность ресурсов, постоянство коэффициентов рождаемости и смертности, отсутствие взаимодействия, способного нелинейно сказаться на приросте. Закон Мальтуса считается первым и самым важным законом экологии популяций. Законы экологии популяций, по мнению В.Л. Гинсбурга, напоминают законы физики .

«Закон Мальтуса описывает, как растут или уменьшаются популяции, когда больше ничего не происходит. Он описывает естественное состояние популяций – как они ведут себя в отсутствие каких-либо внешних факторов (Гинзбург, Коливан 2004) ».

«Гинзбург (1986) заметил, что закон Мальтуса играет такую же роль в экологии как Первый закон Ньютона в физике. До Галилея и Ньютона Аристотель утверждал, что естественным состоянием тел является покой, а движение возникает только тогда, когда к объекту приложена сила. Господин Исаак Ньютон, однако, доказал, что верно обратное: постоянное движение является естественным состоянием, а непостоянное движение и покой возникают только тогда, когда к объекту приложена сила. Его первый закон содержит концепцию инерции, которая является «стремлением тела сопротивляться изменениям своей скорости (Кребс 2001б).»

«Подобно первому закону Ньютона, закон Мальтуса говорит о том, что естественное состояние популяции – не покой (т.е. постоянная популяция), а движение (т.е. экспоненциальный рост или уменьшение); и если популяции не растут или уменьшаются экспоненциально, это происходит потому, что внешняя сила (т.е. что-то в окружающей среде) изменяет уровень рождаемости и / или смертности (Гинзбург 1986, Гинзбург, Коливан 2004). Эта внешняя сила может быть как небиотическим так и биотическим фактором как, например, «уровень межвидового заполнения и плотность всех остальных видов в сообществе, которые могли бы взаимодействовать с основными видами (Турчин 2003)».

Дадим определение закону экспоненциального роста сначала для колонии микроорганизмов, где смертность отсутствует, а затем и для произвольной популяции организмов:

Экспоненциальный, естественный (обусловленный только внутренними, эндогенными, системными причинами, т.е. никак не управляемый не «извне», не «изнутри») рост численности популяции множества однородных размножающихся организмов - это суперпозиция множества параллельных процессов деления, размножения с постоянным коэффициентом естественного прироста по закону одной и той же прогрессии на последовательности временных интервалов одинаковой продолжительности, равной характерному времени размножения, с равномерно распределенной фазой.

Размножающуюся популяцию можно представить как объединение элементарных, независимых, далее неделимых частиц, подсистем, состоящих, к примеру, из одной бактерии или пары разнополых представителей моногамной популяции. Т.е. эта частица, атом популяции, ее элементарная составляющая - «не видит», «не чувствует» других, размножается и гибнет независимо от них по закону геометрической прогрессии, одинаковому для всех.

В более сложном случае можно допустить взаимодействие такой элементарной подсистемы с другими, но лишь такое, которое оставляет неизменным коэффициент естественного прироста, вне зависимости от находящегося в системе числа «частиц».

Итак, главные условия экспоненциального роста численности популяции это:

• Неизменность состояния среды (не обязательно строгая неизменность, вариации возможны, но лишь в тех пределах, в которых сохраняется гомеостаз организмов), в которой находится популяция, следствием чего является строгая цикличность, периодичность элементарного продуктивного процесса во времени. Для экспоненциального роста колонии микроорганизмов, к примеру, необходима неизменность концентрации питательной смеси, ее температура, физические поля, в которых находятся организмы, уровень радиации и т.д.
• Независимость, отсутствие взаимовлияния процессов размножения элементарных составляющих популяции, рассредоточенной в пределах среды обитания, результатом чего является аддитивность естественного прироста (скорости роста численности) любых ее подсистем. Колонию микробов, например, можно разбить на любые части, в которых будет разное число таких микробов, и скорость роста численности этой колонии будет равна сумме скоростей роста всех ее частей. Это свойство вытекает из линейности дифференциального уравнения (1).

Рис 4. Главное условие экспоненциального роста популяции заключается в постоянстве коэффициента естественного прироста.

Главное условие экспоненциального роста заключается в том, что коэффициент естественного прироста популяции α , т.е. прирост ее численности за какой-то промежуток времени, отнесенный к этой численности, есть величина неизменная или «почти неизменная» в период роста (уменьшения) численности. Для популяции организмов со смертностью он равен разности между числом родившихся и числом умерших за единицу времени (Р-С), поделенную на общую численность. И число родившихся, и число умерших - случайные величины, различные по своей природе, имеющие разные математические ожидания и дисперсии и по разному меняющиеся во времени.

Коэффициент рождаемости (P/NΔt) и коэффициент смертности (C/NΔt) могут изменяться со временем в процессе роста популяции, но если при этом их разность будет оставаться неизменной - рост будет экспоненциальным. Если же это условие будет нарушено - экспоненты не получится; например, если для некоторой популяции коэффициент рождаемости - константа и не зависит от численности, а коэффициент смертности пропорционален численности, то рост будет логистическим.

Здравствуйте! Сегодня мы с вами попробуем разобраться, что такое экспоненциальный рост. Экспоненциальный рост - возрастание величины в геометрической прогрессии. Величина растет со скоростью, пропорциональной её значению. Это означает, что для любой экспоненциально растущей величины чем большее значение она принимает, тем быстрее растет. Разберем это на примере. Может, вы помните из биологии, что бактерии размножаются ОЧЕНЬ быстро. Рост популяции бактерий аналогичен росту непрерывно начисляемых процентов. Я это покажу, когда будем решать задачу. Так, это у нас задача на экспоненциальный рост. Вот условие: на начальной стадии бактериальная колония содержит в себе 100 клеток, и она начинает расти пропорционально своему размеру. Спустя 1 час численность клеток возрастает до 420. Сначала нам нужно найти выражение, которое показывает количество бактерий через t часов. Давайте этим и займемся. Количество бактерий – это, можно сказать, функция от времени. Давайте обозначим ее b. Итак, запишем. Количество бактерий как функцию от t можно записать как b(t). Я запишу это вот здесь: b(t). Таким образом, количество бактерий как функция от времени равно: начальное количество бактерий, то есть I нулевое (если проводить аналогию с процентами, то это у нас тело кредита). В данном случае это количество, с которого мы начинаем. Далее у нас идет число е в степени kt, где k – это вид экспоненциального роста. Это у нас I нулевое, другими словами, первоначальное количество. t=0, т.к. в начальный момент времени время равно нулю, а значит, что вся степень равна нулю, а все выражение здесь равно единице. Логично, да?. b(0) должно быть равно I нулевому. Следовательно, если вы знаете, с какого значения начать, а также второе значение, то вы можете найти k. Затем вы подставляете вместо k найденное значение – и вот вы и выполнили первый пункт задания: найти выражение, которое показывает количество бактерий через t часов. Итак, мой вопрос: чему равно I нулевое? Нам это количество известно. Вот здесь в задаче: на начальной стадии бактериальная колония содержит в себе 100 клеток. Следовательно, мы знаем, что b(0) равно 100. Давайте я по-другому запишу: b(0)=I нулевое*е в степени 0 =I нулевому. Следовательно, количество бактерий при t=0 равно 100. Вот мы немного продвинулись в решении. Теперь можем сказать, что b(t)=100*е в степени kt. Таким образом, если бы у нас было k, то мы бы могли выполнить первую часть задания: найти выражение, которое показывает количество бактерий через t часов. А как же нам найти k? А вот у нас далее идет второе значение количества бактерий: спустя 1 час численность клеток возрастает до 420 штук. О чем это нам говорит? О том, что b(1) т.е. популяция спустя 1 час равна 420 штукам, или это равно 100*е в степени kt. Чему равно t? t=1, следовательно, умножить на е в степени k. Таким образом, 420=100*е в степени k. Теперь мы можем найти k. Давайте для начала разделим обе части равенства на 100. Итак, 4,2…Я, наверное, поменяю местами части равенства. Итак, е в степени k равно 4,2. Теперь, чтобы найти k, нам нужно взять натуральные логарифмы обеих частей. Таким образом, k=ln(4,2). В результате мы получим какое-то число. Мы позже найдем его с помощью калькулятора. Итак, мы сначала подставили в это выражение значение 100, выяснили, чему равно I нулевое и с помощью дополнительных данных мы нашли k: k=ln(4,2). Теперь у нас есть выражение, поскольку k и I нулевое нам известны. Следовательно, вот ответ на первый пункт задания: функция b(t) равна: начальное количество, то есть 100, умножить на е в степени kt, а поскольку k=ln(4,2), то получаем е в степени (ln(4,2))*t. Именно так выглядит наша функция. Теперь приступим к выполнению второго пункта нашего задания. Вот он, второй пункт: найти количество бактерий через 3 часа. Это сделать легко и просто. У нас есть функция, а t=3, следовательно, мы можем найти количество бактерий через 3 часа. Итак, b(3)=100*е в степени (ln(4,2)*3). И мы можем вычислить значение этого выражения, если, конечно, у вас есть калькулятор. Чему равен натуральный логарифм 4,2? Вообще-то, мы можем найти значение аналитическим методом. Итак, это то же самое, что и 100 умножить на е в степени ln(4,2) и все это в третьей степени, поскольку если две степени перемножаются, то это равносильно возведению в степень, значит, мы возводим в 3-ью степень. И если мы упростим здесь, то дальше все понятно. А чему же равно е в степени ln(4,2)? Это равно 4,2, не так ли? Натуральный логарифм говорит нам о том, в какую степень надо возвести число е, чтобы получить 4,2. Посмотрите, я даже обойдусь без калькулятора. Значит, 100*(4,2) в третьей степени. А теперь нам нужно выяснить, сколько будет (4,2) в третьей степени. Это будет около 70-ти. Давайте позже с этим разберемся. Вот ответ на второй пункт нашего задания. А найти значение можно с помощью калькулятора. Вы и сами можете это сделать. Какой же третий пункт? Теперь нам надо найти темп роста спустя 3 часа. Что в этом пункте от нас хотят? Нам надо найти угол наклона вот этой функции. Другими словами, нам надо найти производную этой функции при t=3. Давайте я здесь все удалю, поскольку мы уже выполнили эти пункты задания. Здесь надо только посчитать на калькуляторе. Готово. Итак, переходим к третьему пункту. Нам надо найти темп роста, то есть производную данной функции. Итак, производная функции b’(t) равна…Чему же она равна? Давайте воспользуемся цепным правилом, т.е. принципом дифференцирования сложной функции. Итак, поскольку 100 – это константа, то мы можем 100 написать перед функцией. А производная вот этого выражения равна ln(4,2) умножить на производную е в степени ln(4,2)*t. Это мы нашли темп роста при t, а нам надо выяснить, чему он будет равен при t=3. Следовательно, b’(3)=100*ln(4,2), и все это мы умножаем на е в степени ln(4,2)*t. А мы уже говорили, что это выражение равно просто (4,2) в степени t. Значит, здесь мы умножаем на (4,2) в третьей степени. Как видите, мы здесь затронули и тему логарифмов. Ну, а дальше все легко и просто: мы вместо t подставили значение 3. Надеюсь, вы поняли. Ну, а если нет, то можете просто-напросто воспользоваться калькулятором. Но, по-моему, это надо знать: е в втепени (ln x)=x. Ведь, что такое (ln x)? Это степень, в которую надо возвести е, чтобы получить х. Другими словами, если я возвожу е в степень х, я получаю х. Вот все, что я хотела сказать. Итак, е в степени ((ln(4,2) в степени t)= (4,2) в стпени t. Как видите, я могу переписать наше первоначальное выражение следующим образом: 100*(4,2) в степени t. Мы только что упростили ответ для первого пункта задания. Так будет лучше. Благодаря этому найти решение для второго пункта было бы проще. Ну а что касается третьего пункта, то здесь лучше оставить все, как есть, поскольку найти производную вот этого выражения намного легче. Мы можем переписать вот это выражение как: b’(t)=(100*ln(4,2))*(4,2) в степени t. Таким образом, я просто поменяла вот это выражение на это. Извините, я тут уже так начёркала. И наконец-то, мы подошли к последнему пункту нашего задания: найти время, через которое количество бактерий достигнет 10.000. Давайте я, наверное, сотру решение к третьему пункту. Через какое время количество бактерий достигнет 10.000? Давайте сначала запишем наше выражение немного проще. Итак, b(t)=100*е в степени (ln(4,2)*t). А это равно, как я уже говорила, 100*(4,2)^t. У нас спрашивают, когда количество бактерий достигнет 10.000. Другими словами, при каком значении t функция b(t) равно 10.000. Итак, 10.000=100*е в степени ln(4,2)*t. Давайте посмотрим, что у нас здесь. Мы можем разделить обе части равенства на 100. Следовательно, 100=е в степени (ln(4,2)*t). А теперь мы можем записать обе части в виде натуральных логарифмов. Что у нас здесь получится? Возьму другой цвет, ln100 равен..., а если мы берем натуральный логарифм е в какой-то степени, то мы получаем просто натуральный логарифм значения этой степени. Другими словами, у нас остается только логарифм выражения, которое находится в степени. Итак, давайте это запишем: ln100=ln(4,2)*t. А чтобы найти t, нам надо обе части равенства разделить на ln(4,2). Следовательно, t=(ln100)/(ln(4,2)) Таким вот образом мы найдем время, через которое количество бактерий достигнет 10.000. Осталось только взять калькулятор и найти значение этого выражения. А давайте теперь ради интереса, рассмотрим упрощенную версию нашего выражения. Итак, что бы у нас получилось: 100*(4,2) в степени t=10.000. Делим обе части равенства на 100. Значит, (4,2) в степени t=100. А чтобы решить это, нам надо взять логарифм по основанию 4,2. Следовательно, t равно логарифму 100 по основанию 4,2. Мы еще вернемся к этому в видео о свойствах логарифма. Очень важно знать, как можно вычислить логарифм по основанию какого-то числа. Поскольку на калькуляторе вы можете найти логарифм только по основанию е или 10. А как найти логарифм по основанию любого другого числа? Мой ответ – очень просто: надо просто взять натуральный логарифм 100 и разделить его на натуральный логарифм вот этого значения. Либо же десятичный логарифм 100 и разделить на десятичный логарифм 4,2. Все, на этом мы, наверное, закончим, чтобы у вас в голове все не перепуталось. Итак, на этом уроке мы рассмотрели экспоненциальный рост. Мы могли вместо «колонии бактерий» написать «начальная сумма вклада составляет 100 и растет пропорционально своему размеру». Тогда это было бы сложными процентами. А здесь мы могли бы сказать, что «спустя 1 час сумма увеличилась на, допустим, 4, 2 доллара. В таком случае мы бы искали непрерывно начисляемые проценты. В общем, это то же самое. Неважно, что именно мы рассматриваем. В дальнейшем я покажу еще несколько примеров на эту тему, а также мы рассмотрим задачу и на экспоненциальное затухание. До скорой встречи!

Когда Альберта Эйнштейна попросили назвать самую могучую силу на свете, он без колебаний ответил: «Сложные проценты».

Для того чтобы действительно понять природу и последствия длительного периода роста, нужно быть гением. Эксперименты показали, что даже образованным и хорошо разбирающимся в математике людям свойственно значительно недооценивать результаты роста. Например, в ходе одного исследования* испытуемых попросили оценить необходимую производительность тракторного завода, который начал работать в 1976 году с выпуска 1000 тракторов в год, после чего каждый год спрос увеличивался на 6 процентов. Сколько тракторов, спрашивали их, завод должен будет производить в 1990, 2020, 2050 и 2080 годах? Типичные ответы базировались на постепенном линейном увеличении, и поэтому оценки спроса до 1990 года были достаточно близки к правильному ответу. Но последующие цифры правильных ответов подскакивали «экспоненциально», в то время как оценки отвечающих продолжали основываться на стабильном приросте. Большинство респондентов ответили, что в 2080 году спрос составит около 30 000 тракторов, в то время как правильный ответ около 350 000, что в 10 с лишним раз больше!

А теперь отгадайте загадку. В пруду площадью 13 тысяч кв. футов плавает один лист кувшинки, занимающий площадь в 1 кв. фут. Через неделю листьев уже два. Через две недели четыре. Посчитайте, сколько времени понадобится кувшинкам, чтобы покрыть весь пруд.

Через 16 недель они покроют половину пруда. А теперь скажите, сколько еще пройдет времени, пока весь пруд не будет покрыт кувшинками? Для того чтобы покрыть половину пруда, кувшинкам понадобилось 16 недель. Но вот чтобы закрыть вторую половину, достаточно будет одной недели, так как площадь листьев каждую неделю удваивается. Окончательный ответ -17 недель.

* См.: ^ Дитрих Дернер. Логика неудачи: почему дела идут плохо и что мы можем сделать, чтобы их поправить (Dietrich Dorner. The Logic of Failure: Why Things Go Wrong and What We Can Do to Make Them Right. 1996, Metropolitan Books, New York). Оригинал опубликован в Германии в 1989 году под названием «Die Logik des Misslingcns» издательством Rowohlt Verlag.

А помните басню про индийского короля, который захотел наградить изобретателя шахмат? Изобретатель попросил всего лишь несколько зернышек риса: на одну клетку положить одно, на вторую два, на третью четыре, и так далее на все остальные клетки. Король думал, что мудрец поскромничал, - пока не выяснилось, что только на одну последнюю клетку пришлось бы положить 9 223 372 036 000 000 000 зерен, или около 153 миллиардов тонн, или больше двух с половиной миллионов огромных (по 60 000 тонн) сухогрузов, до самых бортов заполненных рисом. А всему виной «экспоненциальный» рост, в данном случае удвоение зерен риса на каждой клетке.

^ В чем суть экспоненциального роста?

Экспонента - это число, показывающее, сколько раз какая-то величина должна быть умножена сама на себя. Например, если экспонента равна 3, а величина 4, то выражение 4 3 означает 4 х 4x4, что составит 64. Математическое выражение у 2 означает у ху , а число 2 - это экспонента.

Чем экспоненциальный рост отличается от линейного? При линейном росте величина увеличивается на каждом этапе на одно и то оке, а не на кратное число. Если мой стартовый капитал составляет 1000 долларов и каждый год увеличивается на 100 долларов, то через 10 лет я его удвою и буду иметь 2000 долларов. Вот это и есть линейный рост, на одну и ту же сумму каждый год. Но если мой стартовый капитал в 1000 долларов каждый год будет увеличиваться на 10 процентов, то через десять лет у меня будет 2594 доллара. Это пример экспоненциального роста с постоянным кратным числом ежегодного увеличения 1,1. Если же я буду продолжать свой бизнес еще 10 лет, то линейный рост даст мне общую сумму 3000 долларов, в то время как экспоненциальный - 6727 долларов.

Любой рынок или бизнес, поддерживающий уровень роста 10 процентов или больше на протяжении длительного периода времени, получит гораздо больший эффект с плане создания стоимости, чем мы интуитивно оцениваем. Некоторые компании- такие как IBM или McDonald"s за период с 1950 по

1985 год или Microsoft в 1990-х годах- сумели обеспечить уровень роста, превышающий 15 процентов в год, и во много раз увеличили свои капиталы. Если вы начнете со 100 долларов и в течение 15 лет будете увеличивать капитал на 15 процентов в год, то в конце у вас будет уже 3292 доллара, то есть почти в 33 раза больше, чем в начале. Незначительное увеличение процента роста приводит к большой разнице в результатах.

К примеру, американский биржевой брокер Уильям О"Нил создал для своих одноклассников фонд и управлял им с 1961 по 1986 год. За это время первоначальные 850 долларов превратились в сумму 51 653 доллара после выплаты всех налогов*. За 25 лет средний рост составил 17,85 процента в год, что выразилось в увеличении первоначальной суммы в 61 раз. Таким образом, мы видим, что если за 25 лет 15-процентный рост увеличивает капитал в 33 раза, то добавление меньше чем 3 процентных пунктов к темпам годового прироста увеличивает результат в 61 раз.

Экспоненциальный рост меняет вещи не только количественно, но и качественно. Например, при быстром росте индустрии - Питер Дрюкер называет цифру 40 процентов за 10 лет - меняется сама ее структура, и на первый план выходят новые лидеры рынка. Быстрому росту рынков способствуют новаторство, отсутствие закономерности, новые продукты, технологии или потребители. Новаторы по определению ведут дела не так, как все. Новые способы редко уживаются с привычками, идеями, процедурами и структурами существующих фирм. Новаторы нередко получают возможность снимать пенки на протяжении нескольких лет, пока традиционные лидеры не решат пойти в контратаку, но тогда может быть уже поздно.

^ Кролики Фибоначчи

Хочу предложить вам любопытную загадку на тему экспоненциального роста. В 1220 году Леонардо Пизанский, получивший 600 лет спустя прозвище «Фибоначчи», придумал следую-

* ^ Уильям Дж. О "Нил. Как делать деньги на биржах (William J. О "Neil. How to Make Money in Stocks. 1991, McGraw-Hill, New York. P. 132).

щий сценарий. Начнем с пары кроликов. Затем представим, что каждая пара через год производит на свет другую пару, а через год - еще одну. После этого кролики становятся слишком старыми для размножения. Как будет увеличиваться количество пар, и есть ли в этой модели что-нибудь замечательное?

Если хотите, можете составить последовательность ежегодного количества пар самостоятельно, но можете посмотреть ответ сразу:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

Не замечаете ничего необычного?

Собственно говоря, тут есть два интересных момента. Один заключается в том, что начиная с третьей, каждая последующая цифра является суммой двух предыдущих. Второй состоит в том, что отношение числа каждого года (после третьего) к числу предыдущего составляет практически постоянный коэффициент, который вскоре приближается к 1,618. Другими словами, тут наблюдается постоянная скорость прироста, составляющая чуть больше 60 процентов.

Со временем загадка ^ Кроликов Фибоначчи получила исчерпывающее математическое объяснение, но, к счастью, тут нет для него места*. Тем не менее эти кролики являются прекрасной иллюстрацией экспоненциального роста, равно как и того факта, что даже такой явно ограниченный рост не может продолжаться слишком долго. Через 144 года объем кроликов Фибоначчи превысит объем Вселенной, и все люди погибнут, задохнувшись под пушистой массой. Вот уж действительно притянуто за уши!

^ Большой Взрыв

Другая, более экстремальная форма экспоненциального роста, возможно, лежит в основе возникновения Вселенной. В наши дни практически все астрономы и физики согласились с Теорией Большого Взрыва, согласно которой Вселенная началась

* Любители математики могут полистать книгу Питера М. Хиггинса «Математика для любознательных» (Peter M. Higgins. Mathematics for the Curious. 1998, Oxford University Press, Oxford).

с невообразимо малого объема, а потом за долю секунды 100 раз удвоила свои размеры, что сделало ее похожей на небольшой грейпфрут. Затем этот период «вспучивания», или экспоненциального роста, закончился, уступив место линейному росту, в ходе которого расширяющийся огненный шар создал сегодняшнюю Вселенную.

Экспоненциальный рост - это неотъемлемая составляющая творчества любого рода. Интересный урок состоит в том, что при экспоненциальном росте не нужно начинать с чего-то большого. По сути дела, начать можно с самого малого. Если Вселенная могла возникнуть с чего-то настолько малого, что мы не можем себе этого представить, и расширилась до своих сегодняшних невообразимо бесконечных размеров, то фактор первоначальных размеров нового бизнеса следует признать не имеющим совершенно никакого значения. Ключевой показатель - это период экспоненциального роста, за которым следует более длительный период линейного роста.

^ Выводы из концепции роста

Самые лучшие возможности творчества и роста возникают в периоды нарушения равновесия или, иными словами, в момент достижения точки опрокидывания и сразу после него.

Нарушения равновесия и точки опрокидывания не происходят внезапно. Всегда существует период, иногда достаточно долгий, предварительной разминки, когда существующая система выказывает признаки нестабильности, а новая спокойно набирает силу. Во всем, что касается новых технологий или видов продукции, точка опрокидывания достигается только после того, как новшество получает «прописку» на массовом рынке. Это означает, что его продажа должна основываться на традиционных критериях выгоды, а революционная сущность перемены (если она есть) должна быть закамуфлирована.

Периоды стремительных изменений и высокого экспоненциального роста обычно не длятся долго. Пройдет немного времени, как установится новое равновесие с новой господствующей технологией и/или новой конкурентной ситуацией. Отсюда ощущение увлекательности и необычной неуверенности, связанное с периодами нарушения равновесия. Отсюда же те исключительные выгоды, которые извлекают люди, сумевшие в этот короткий период захватить господствующие позиции. Такое господство скорее является результатом искусного маркетинга и позиционирования, чем превосходства самой технологии.

Большинство новаторов терпят поражение. Чтобы оседлать успех, они должны «преодолеть пропасть» - или перейти точку опрокидывания - и внедриться на массовый рынок. Ключевым фактором тут является ускорение. Пока новая продукция или технология не начнет стремительно размножаться, у нее мало шансов на выживание.

^ Закон экономического арбитража Сэя

В 1803 году французский экономист Жан-Батист Сэй (1767- 1832) опубликовал замечательную работу «Трактат о политической экономии». Томас Джефферсон отозвался о ней так:

«Превосходный труд... блестящая компоновка, четкие идеи, ясный слог, а вся работа в два раза тоньше, чем книга [Адама] Смита"*.

В трактате содержалось множество поразительных новшеств, включая термин «entrepreneur» (предприниматель) и сформулированную в том же самом предложении первую теорию экономического арбитража.

Предприниматель перемещает экономические ресурсы из области с более низкой производительностью в область с более высокой производительностью и извлекает из этого выгоду.

Задолго до распространения понятия доходности капитала Сэй назвал один из наиболее важных двигателей экономического творчества и прогресса. Ресурсы по определению ограниченны, поэтому рост зависит не столько от разведки и эксплуатации природных ресурсов, сколько от возможности более пол-

* Томас Джефферсон в письме Джозефу Миллигану, 6 апреля 1816 года. Это превосходная статья, и я использовал ее в своем докладе.

ного использования каждой единицы ресурса. Отчасти это функция более совершенных технологий и методик, но нельзя сбрасывать со счетов умение предпринимателя доставить эти ресурсы туда, где они окажутся наиболее продуктивными.

^ Принцип реальности Фрейда

В 1900 году Зигмунд Фрейд (1856-1939) выпустил в свет «Толкование сновидений» и основал новую науку психоанализа. Одной из его ключевых концепций был Принцип реальности, утверждающий, что от использования других людей в корыстных целях нас удерживает только то, что они стремятся сделать то же самое с нами. Сталкиваясь с реальностью (действительностью), мы вынуждены приспосабливаться к потребностям других людей и требованиям внешнего мира, чтобы иметь возможность удовлетворить собственные инстинкты.

Концепция Фрейда определенно имеет большую ценность, но довольно неожиданный поворот той же идее придал его современник, драматург Джордж Бернард Шоу:

«Разумный человек приспосабливает себя к миру [в соответствии с принципом реальности Фрейда]: неразумный человек настойчиво пытается приспособить мир к себе. Следовательно, любой прогресс зависит от человека неразумного «.

Творчество и предпринимательство требуют подпитки новыми идеями, новыми методами и неразумными подходами. Вел ли себя разумно Генри Форд, когда настаивал на том, что автомобили должны быть доступны рабочему человеку? Он явно не следовал за спросом, так как спрос на автомобили существовал только среди богатых. Форд отказался согласиться с тем миром, который существовал вокруг него; он продолжал попытки подстроить мир под свое видение. Используя конвейер и максимальную стандартизацию, Форд снизил стоимость модели Т с 850 долларов в 1908 году до 300 долларов в 1922 году и преуспел в своей миссии «демократизации автомобиля».

^ Преуспевающий предприниматель

Книга Бытия и теория Большого Взрыва сходятся в одном: было только одно первоначальное сотворение мира. Следовательно, прогресс - это всего лишь перестановка слагаемых. Ничто не ново под луной.

Такую точку зрения никак нельзя считать мрачной, и это обнадеживает. Все, чего не хватает человеческому благосостоянию, это взять определенный набор ресурсов и переместить их из областей с низкой продуктивностью в области с высокой продуктивностью.

Весь экономический прогресс основан на экономическом арбитраже данного типа. Это хорошая новость. Заниматься арбитражем легче, чем творчеством. Каждый должен быть способен придумать что-нибудь такое, что может получить выгоду от экономического арбитража, от выявления ресурсов, которые можно использовать с большей эффективностью.

Истинные предприниматели не ждут, пока исследователи рынка скажут им, что делать. У них есть свое видение того, как сделать что-нибудь лучше и по-иному. Они разрабатывают способы достичь большего меньшими усилиями. Они меняют менее доходные варианты использования ресурсов на более доходные и продолжают оставаться настойчивыми и неразумными, пока мир не примет их точку зрения.

^ Закон убывающей доходности

Одной из наиболее влиятельных и популярных концепций работы рынков и предприятия является Закон убывающей доходности, который сформулировал примерно в 1767 году французский экономист Робер Жак Тюрго.

Закон гласит, что после определенного момента доходность дополнительных усилий или инвестиций уменьшается, то есть уменьшается прирост стоимости. Для голодного человека булка хлеба имеет очень большую ценность. Ценность второй булки меньше. Десятая уже не будет иметь почти никакой цены. Если вы наймете дополнительно несколько крестьян для обработки одного участка земли, то после определенной точки вступит в действие закон убывающей доходности.

Через сто лет британские классические экономисты, лидером которых был Альфред Маршалл, распространили эту идею на рынки и фирмы. Лидирующие на рынке продукты или компании попадают в ловушку убывающей доходности. Цена крупных размеров в бизнесе - большой рыночной доли, крупной фабрики, широкого ассортимента - достигает своего пика, а затем идет на спад. Что ж, звучит вполне разумно.

Но классические экономисты пошли дальше. Они заявили, что рано или поздно предсказуемое равновесие цен и рыночной доли будет достигнуто и что честная конкуренция в сотрудничестве с законом убывающей доходности в конечном итоге приведут к невозможности получения сверхприбылей. Такая теория оправдывала государственное регулирование рынков - если прибыли очень высоки, это значит только одно: монополисты искусственно раздувают цены и препятствуют честной конкуренции.

Одним из величайших мифов, на котором зиждилась экономика конца двадцатого столетия, был миф экспоненциального роста. Предполагалось, что технологии будут меняться еще быстрее, так что экономика тоже будет расти по экспоненте, сделав нас всех богаче наших родителей и несоизмеримо богаче наших прадедов. Однако, похоже, с 2000 года все пошло не так, по крайней мере, в экономике. Проблема частично связана с оттоком капитала в развивающиеся рынки, ставшим возможным благодаря Интернету и современным коммуникациям. Однако за рамками даже этой неудобной реальности лежит по-настоящему тревожная мысль о том, что технический прогресс, и таким образом, возможность улучшения уровня жизни, может вовсе и не вызывать никакого экспоненциального роста.

В видении нескольких энтузиастов вера в экспоненциальный технический прогресс трансформировалась в сингулярность, которая либо уже происходит, либо вот-вот нас настигнет. Предполагается, что она приведет к дальнейшей акселерации прогресса, которая будет такой мощной, что будущее истории человечества будет очень сильно отличаться от прошлого.

Но перед тем, как приветствовать появление сингулярности, следует отметить, что, по мнению сторонников этой теории, она будет вызвана появлением более умных, чем люди, машин, которые впоследствии одержат верх, создадут еще более умных роботов и оставят человечество «в хвосте». Таким образом, сингулярность будет представлять собой не почти бесконечное улучшение качества жизни человечества, потому что, по-видимому, такие сверхразумные машины не особенно будут интересоваться уровнем жизни людей – или вообще захотят использовать нас как подопытных или домашних животных. (Если последнее, я, несомненно, окажусь в первых рядах претендентов на ликвидацию – вряд ли я обладаю качествами домашнего животного, регулярно проявляемых нашей кошкой Евдоксией).

Подумав логически, можно выделить три сингулярности, уже имевших место в истории человечества: появление речи, переход от кочевой жизни к оседлому сельскому хозяйству, а впоследствии Промышленная революция. Каждое из этих явлений десятикратно ускоряло развитие человечества, так что изменения, на которые под влиянием одной только эволюции уходили миллионы лет, после появления речи начали происходить за сотни тысяч лет, с изобретением земледелия – за десятки тысяч лет, и всего за два-три столетия – после Промышленной революции. Каждое из этих изменений совершенно меняло жизнь; она также двигалась в более быстром темпе, а после Промышленной революции за одну короткую человеческую жизнь происходят громадные технологические сдвиги.

Стоит подробнее остановиться на сингулярности Промышленной революции. Она продолжалась примерно 200 лет, и ни одна из ее первых инновация не привносила существенных жизненных изменений. Машина Ньюкомена (Newcomen) для откачки воды в шахтах, изобретенная в 1712 году, не привела к серьезным изменениям напрямую, за ней не последовало никакого намного более совершенного двигателя, как у Джеймса Ватта (James Watt) , до 1769 года (а двигатели Уотта вошли в широкое применение лишь в 1790-е годы). Однако технологическая революция сопровождалась столь же важной революцией в человеческом мышлении, которая началась примерно с основания Королевского научного общества в 1662 году и продолжилась «Богатством наций » Адама Смита (Adam Smith) (в 1776 году) до начала 19-го века.

Таким образом, даже несмотря на то, что гражданин 1785 года не особенно наслаждался техническими достижениями по сравнению с его предком из 1660 года, в то время как веком раньше алхимики высмеивались на картине знаменитого Джозефа Райта (Joseph Wright), сейчас она служит обложкой для «Алхимиков потерь ». Первые громадные технические плоды Промышленной революции появились позднее – текстильное производство приняло масштаб, только начиная с 1790-х годов, а сеть железных дорог появилась только после 1830 года – но умственные изменения, сформировавшие сингулярность, уже произошли к 1785 году или около того.

В этом смысле нам пока не грозит никакая сингулярность. Интернет, кардинально изменивший мировые коммуникации и наш образ жизни, является не более существенным революционным сдвигом, чем электрический свет, телефон или автомобиль. Жизнь в 2010 году на самом деле отличается от жизни в 1995 году. Сегодня мы можем организовать мировое производство или компанию по оказанию услуг намного эффективнее, чем в 1995 году. Большую часть жизни вне сна молодежь проводит в Интернете или в разговорах по мобильному телефону, что до 1995 года она делать не могла.

Однако так было и через 15-20 лет после появления предыдущих судьбоносных технологий. В 1845 году, после изобретения железных дорог, модель путешествий уже отличалась от модели 1830 года. В 1905 году, после изобретения электричества, городские модели работы в вечернее время и развлечений очень сильно отличались от моделей 1890 года. Подобно этому, жизнь в сельской местности Америки в 1925 году с появлением «Жестянки Лиззи» (Ford Model T) стала совершенно иной, чем в 1910 году.

Таким образом, каждое из этих изобретений кардинально меняло какие-то стороны жизненного уклада, но при этом они все же не ускоряли сам процесс изобретения и прогресс, как Промышленная революция. После распространения изобретений жизнь становилась другой, но темп технического прогресса был весьма умеренным. Интернет похож на инновацию подобного типа: он существенно изменил нашу жизнь, но не настолько ускорил изменения, как Промышленная революция, и предпосылок к этому нет. В самом деле, кто-то может справедливо возразить, что поколение, ставшее свидетелем большей части революционных изменений, жило во времена моей двоюродной бабушки Беатрисы, которая родилась в 1889 году и умерла в 1973 году. Во времена ее детства применялось газовое освещение и тягловые лошади, а в старости уже вовсю летали на самолетах и побывали на Луне.

В перспективе существуют три вероятных технологических достижения, потенциально способных ускорить темп изменений, даже если они не вызовут сингулярности. Это: создание машины умнее человека, открытие методов манипуляций с генами, способных увеличить когнитивные способности человека, а также открытия технического, медицинского или генетического характера, которые могут привести к значительному увеличению продолжительности человеческой жизни.

Возможность появления супер-робота считалась самой популярной причиной предполагаемой сингулярности, но при ближайшем рассмотрении оказывается, что это вряд ли приведет к ней. Приверженцы теории сингулярности любят цитировать закон Мура – теорию, предложенную Гордоном Муром (Gordon Moore) в 1965 году, согласно которой компьютерная скорость обработки данных удваивается каждые два года. Однако в реальности мы всерьез приближаемся к пределу этой прогрессии; сдерживающими факторами являются скорость света, энергия, требуемая для работы микропроцессоров (которые выделяют тепло), длина волны электромагнитного излучения и размер атомных структур.

Через пару поколений по закону Мура мы приблизимся к временному барьеру, который существенно усложнит прогресс, а через 5-6 поколений по этому же закону – к барьеру постоянному, за которым при вообразимых на данный момент технологиях прогресс будет невозможен. Нужно признать, что дальнейший прогресс в сфере компьютерного интеллекта реализуем путем улучшения программирования и архитектуры с массовым параллелизмом, но реальность такова, что после прогресса 2015-2020 годов в этой области начнется существенное ЗАМЕДЛЕНИЕ, а не ускорение. Так же как и последним, действительно революционным изменением в дизайне автомобилей было изобретение автоматической трансмиссии в 1939 году, очевидно, бесконечный прогресс в машинном проектировании постепенно достигнет естественного предела.

Генная инженерия с целью улучшения умственных способностей человека, несомненно, изменит наш мир, но это, вероятно, случится очень нескоро, потому что таким изменениям будут резко противостоять большинство западных религиозных групп и правительств. Даже простое клонирование, которое является простым воспроизведением существующей особи, не намного продвинулось за десять лет, и может задержаться в развитии на целое поколение в будущем. Даже с разрешением правительств могут быть проведены проверки на безопасность, необходимые перед началом экспериментов по расширению интеллектуальных возможностей, существует вероятность того, что первые подобные испытания просто приведут к увеличению умственных способностей до существующего уровня, а не к их расширению. Кроме того, из-за биологической потребности этих детей в созревании до 15-летнего возраста, получения высшего образования в течение последующих 5-10 лет, результат этих изменений проявится не ранее чем через 50 лет в будущем. В этом смысле супер-робот, будь он реальным, может быть создан быстрее, так как он сразу будет взрослым! Учитывая тот факт, что первые экземпляры Улучшенного Человека будут составлять ничтожную часть человеческой/новой человеческой расы, становится очевидно, что никакого макро-ускорения отсюда не следует ожидать до следующего века.

Третья потенциальная технология, продление жизни, уже интереснее. Технически любой существенный эффект (помимо медицинских достижений, увеличивающих процент людей, доживающих до 90-100 лет), скорее всего, потребует подобных умений для производства жизни с более высоким уровнем интеллекта. Однако эта сфера столкнется с гораздо меньшим сопротивлением луддитов со стороны политиков и религиозных лидеров, так как преимущества более длинной жизни очевидны и теоретически универсальны. С другой стороны, увеличивать продолжительность жизни уже живущих будет гораздо сложнее, чем создавать новых людей-долгожителей, и скорее всего, это произойдет позднее.

Получается, что к 2050 году мы, вероятно, получим возможность рожать детей, которые будут жить 150-200 лет (то есть дольше, чем потребуется для обретения возможности преодолеть сдерживающие факторы, о которых мы еще не знаем, потому что они не затрагивают не-долгожителей). Через какое-то время после этого мы научимся хотя бы частично увеличивать продолжительность жизни уже существующих людей. Учитывая потенциальный массовый спрос на подобные технологии, они должны быстро распространиться среди большинства людей, так как массовое производство позволит снизить их стоимость до допустимого уровня.

Однако в то время как увеличение жизненного цикла намного улучшит жизнь человека, оно не ускорит прогресс. Долгожители не приступят к работе, по крайней мере, до 25 лет, потому что они будут получать более всестороннее образование, чем мы. Выйдя на работу, они будут менее склонны к риску и терпеливее нас, так как запаздывание будет поглощать меньшую часть оставшейся жизни. В свою очередь, даже без дальнейшей акселерации, им потребуется повторное образование каждые 20-25 лет, чтобы их рабочие навыки не успели безнадежно устареть. Так как расходы для них в условиях быстрых изменений будут больше, чем для нас, а преимущества – меньше, они сами захотят замедлить прогресс. Только в сочетании с более высоким уровнем интеллекта они будут способны принять головокружительный послереволюционный темп изменений.

На данный момент я рассматривал возможную акселерацию положительных изменений. Однако существует возможность катастрофически негативных перемен, которые способны вернуть цивилизацию, уровень жизни и знания на более примитивную ступень. Одним из возможных источников этого является мировая война, возможно, отличная от той, что была 50 лет назад. Еще одним фактором может быть экологическая катастрофа. Здесь ничего хорошего не предвидится. Нынешний неотвратимый рост населения, который, очевидно, замедлится, но не прекратится к 2050 году, усугубится открытиями, которые привели к росту продолжительности жизни до 200 лет, как из-за снижения количества смертей, так и из-за увеличения рождаемости благодаря тому, что способность к воспроизведению будет сохраняться в течение 100 лет. Является глобальное потепление серьезной проблемой в мире с населением от 7 до 10 млрд, еще вопрос, но оно, несомненно, превратится в серьезную проблему в мире с населением в 20 млрд человек (и истощение ресурсов будет, соответственно, представлять собой более реальную опасность). Соответственно, основным приоритетом должны быть меры для замедления роста населения или, даже лучше, возврата к сокращению. В конце концов, до последней сингулярности мировое население составляло всего 1 млрд; при таком уровне наши проблемы с окружающей средой и ресурсами исчезли бы.

Помимо возможности коллапса, две или три вероятных технологических разработки следующих 50 лет – достижение предела Закона Мура и увеличение продолжительности жизни – скорее, замедлят темп изменений, нежели ускорят его. Только третий вариант – генетически улучшенный интеллект – обладает потенциалом к ускорению прогресса, но системное противостояние этой технологии, вероятно, задержит ее очень надолго. Кривая развития человечества в 21-м веке, таким образом, будет асимптотической [ограниченной], а не экспоненциальной.

Выражение «экспоненциальный рост» вошло в наш лексикон для обозначения быстрого, как правило безудержного увеличения. Оно часто используется, например, при описании стремительного роста числа городов или увеличения численности населения. Однако в математике этот термин имеет точный смысл и обозначает определенный вид роста.

Экспоненциальный рост имеет место в тех популяциях, в которых прирост численности (число рождений минус число смертей) пропорционален числу особей популяции. Для популяции человека, например, коэффициент рождаемости примерно пропорционален количеству репродуктивных пар, а коэффициент смертности примерно пропорционален количеству людей в популяции (обозначим его N ). Тогда, в разумном приближении,

прирост населения = число рождений — число смертей

(Здесь r — так называемый коэффициент пропорциональности , который позволяет нам записать выражение пропорциональности в виде уравнения.)

Пусть dN — число особей, добавившихся к популяции за время dt , тогда если в популяции в общей сложности N особей, то условия для экспоненциального роста будут удовлетворены, если

dN = rN dt

После того как в XVII веке Исаак Ньютон изобрел дифференциальное исчисление, мы знаем, как решать это уравнение для N — численности популяции в любое заданное время. (Для справки: такое уравнение называется дифференциальным .) Вот его решение:

N = N 0 e rt

где N 0 — число особей в популяции на начало отсчета, а t — время, прошедшее с этого момента. Символ е обозначает такое специальное число, оно называется основание натурального логарифма (и приблизительно равно 2,7), и вся правая часть уравнения называется экспоненциальная функция .

Чтобы лучше понять, что такое экспоненциальный рост, представьте себе популяцию, состоящую изначально из одной бактерии. Через определенное время (через несколько часов или минут) бактерия делится надвое, тем самым удваивая размер популяции. Через следующий промежуток времени каждая из этих двух бактерий снова разделится надвое, и размер популяции вновь удвоится — теперь будет уже четыре бактерии. После десяти таких удвоений будет уже более тысячи бактерий, после двадцати — более миллиона, и так далее. Если с каждым делением популяция будет удваиваться, ее рост будет продолжаться до бесконечности.

Существует легенда (скорее всего, не соответствующая действительности), будто бы человек, который изобрел шахматы, доставил этим такое удовольствие своему султану, что тот пообещал исполнить любую его просьбу. Человек попросил, чтобы султан положил на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую — два, на третью — четыре и так далее. Султан, посчитав это требование ничтожным по сравнению с оказанной им услугой, попросил своего поданного придумать другую просьбу, но тот отказался. Естественно, к 64-му удвоению число зерен стало таким, что во всем мире не нашлось бы нужного количества пшеницы, чтобы удовлетворить эту просьбу. В той версии легенды, которая известна мне, султан в этот момент приказал отрубить голову изобретателю. Мораль, как я говорю моим студентам, такова: иногда не следует быть чересчур умным!

Пример с шахматной доской (как и с воображаемыми бактериями) показывает нам, что никакая популяция не может расти вечно. Рано или поздно она попросту исчерпает ресурсы — пространство, энергию, воду, что угодно. Поэтому популяции могут расти по экспоненциальному закону лишь некоторое время, и рано или поздно их рост должен замедлиться. Для этого нужно изменить уравнение так, чтобы при приближении численности популяции к максимально возможной (которая может поддерживаться внешней средой) скорость роста замедлялась. Назовем эту максимальную численность популяции K . Тогда видоизмененное уравнение будет выглядеть так:

dN = rN (1 — (N /K )) dt

Когда N намного меньше K , членом N/K можно пренебречь, и мы возвращаемся к первоначальному уравнению обычного экспоненциального роста. Однако когда N приближается к своему максимальному значению K , значение 1 — (N /K ) стремится к нулю, соответственно стремится к нулю и прирост численности популяции. Общая численность популяции в этом случае стабилизируется и остается на уровне K . Кривая, описываемая этим уравнением, а также само уравнение, имеют несколько названий — S-кривая , логистическое уравнение , уравнение Вольтерры , уравнение Лотки—Вольтерры . (Вито Вольте рра, 1860-1940 — выдающийся итальянский математик и преподаватель; Альфред Лотка, 1880-1949 — американский математик и страховой аналитик.) Как бы она ни называлась, это — достаточно простое выражение численности популяции, резко возрастающей экспоненциально, а затем замедляющейся при приближении к некоему пределу. И она гораздо лучше отражает рост численности реальных популяций, чем обычная экспоненциальная функция.